수학에서의 함수 종류 (일대일 함수, 서로 대응되는 함수 등)

**함수(Function)**는 입력값(독립변수)을 주었을 때, 규칙에 따라 단 하나의 출력값(종속변수)이 정해지는 관계입니다. 이를 수식으로는 y=f(x)y = f(x)y=f(x)로 표현하며, xxx가 입력, yyy가 출력입니다. 함수는 그래프, 공식, 또는 규칙으로 나타낼 수 있으며, 실생활의 다양한 관계를 수학적으로 모델링하는 데 사용됩니다.

 

함수

 

1. 수학에서의 함수 종류

 

일대일 함수 (Injective Function): 각 입력 값에 대해 고유한 출력 값이 존재하는 함수. 즉, 서로 다른 입력 값은 서로 다른 출력 값을 가진다.

 

• 예: f(x)=2xf(x) = 2xf(x)=2x

 

서로 대응되는 함수 (Bijective Function): 일대일 대응이면서 모든 가능한 출력 값이 입력 값과 대응하는 함수.

 

• 예: f(x)=x+1f(x) = x + 1f(x)=x+1(적절한 정의역과 공역을 가질 때)

 

주기 함수 (Periodic Function): 일정한 간격으로 반복되는 함수.

 

• 예: f(x)=sin⁡(x)f(x) = \sin(x)f(x)=sin(x), f(x)=cos⁡(x)f(x) = \cos(x)f(x)=cos(x)

 

다항 함수 (Polynomial Function): 다항식 형태로 나타낼 수 있는 함수.

 

• 예: f(x)=x2+3x+5f(x) = x^2 + 3x + 5f(x)=x2+3x+5

 

유리 함수 (Rational Function): 두 다항식의 비율로 표현되는 함수.

 

• 예: f(x)=1x+2f(x) = \frac{1}{x+2}f(x)=x+21​

 

지수 함수 (Exponential Function): 일정한 밑을 가지고, 지수로 변수를 사용하는 함수.

 

• 예: f(x)=exf(x) = e^xf(x)=ex

 

로그 함수 (Logarithmic Function): 지수 함수의 역함수.

 

• 예: f(x)=log⁡(x)f(x) = \log(x)f(x)=log(x)

 

2. 일대일 함수 (Injective Function)

 

**일대일 함수 (Injective Function)**는 함수의 정의 중 하나로, 각 입력 값에 대해 유일한 출력 값이 대응하는 함수입니다. 즉, 함수 f:A→Bf: A \to Bf:A→B가 주어졌을 때, 만약 f(x1)=f(x2)f(x_1) = f(x_2)f(x1)=f(x2)라면 x1=x2x_1 = x_2x1=x2가 성립하는 함수를 일대일 함수라고 합니다. 이를 더 간단히 말하면, 서로 다른 입력 값은 항상 서로 다른 출력 값에 대응한다는 의미입니다.

 

3. 서로 대응되는 함수 (Bijective Function)

 

**서로 대응되는 함수 (Bijective Function)**는 함수의 정의 중 하나로, 함수가 **일대일 함수 (Injective)**이면서 **온전 함수 (Surjective)**인 함수입니다. 즉, 각 입력 값에 대해 유일한 출력 값이 대응하고, 동시에 모든 출력 값이 적어도 하나의 입력 값에 대응하는 함수입니다.

 

• 일대일 함수 (Injective): f(x1)=f(x2)⇒x1=x2f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2f(x1)=f(x2)⇒x1=x2. 즉, 서로 다른 입력 값에 대해 서로 다른 출력 값이 대응해야 합니다.

 

• 온전 함수 (Surjective): 함수의 출력 값 집합 BBB에 속하는 모든 값이 적어도 하나의 입력 값에 의해 대응되어야 합니다. 즉, fff가 BBB의 모든 값을 커버해야 합니다.

 

4. 주기 함수 (Periodic Function)

 

**주기 함수 (Periodic Function)**는 일정한 간격마다 반복되는 값을 가지는 함수입니다. 즉, 함수의 값이 특정 구간을 지나면 원래의 값으로 되돌아가는 특징을 가집니다. 주기 함수는 물리학, 공학, 수학 등 다양한 분야에서 주기적인 현상을 모델링하는 데 사용됩니다.

 

5. 다항 함수 (Polynomial Function)

 

**주기 함수 (Periodic Function)**는 일정한 간격마다 반복되는 값을 가지는 함수입니다. 즉, 함수의 값이 특정 구간을 지나면 원래의 값으로 되돌아가는 특징을 가집니다. 주기 함수는 물리학, 공학, 수학 등 다양한 분야에서 주기적인 현상을 모델링하는 데 사용됩니다.

 

6. 유리 함수 (Rational Function)

 

**유리 함수 (Rational Function)**는 두 다항식의 비율로 표현되는 함수입니다.

 

7. 지수 함수 (Exponential Function)

 

**지수 함수 (Exponential Function)**는 변수에 지수 형태로 등장하는 함수입니다.

 

8. 로그 함수 (Logarithmic Function)

 

**로그 함수 (Logarithmic Function)**는 지수 함수의 역함수로 정의되는 함수입니다. 로그 함수는 주어진 수가 특정 밑을 가진 지수로 표현될 때 그 지수를 찾는 함수입니다.